Questão de produtos notáveis e fatoração

Alguém pode me ajudar com essa questão.
9) Sejam x e y números reais tais que x+y=26 e x³ + y³ =5408. Calcule x² + y²
a)360
b)364
c)368
d)372
e)376
A alternativa correta é a letra b

Oi Kedma

Tenho quase certeza que existe um jeito mais fácil de fazer essa questão. Mas vou mostrar como eu fiz.

Se x + y = 26, então:

(x + y)² = 26² = 676

(x + y)³ = 26³ = 17576

Na expressão (x + y)² a gente consegue isolar o x² + y², justamente o que procuramos, olha só:

(x + y)² = x² + 2xy + y² = 676
x² + y² = 676 - 2xy

Logo, precisamos de descobrir quanto vale x.y

Na expressão (x + y)³ a gente isola x³ + y³, justamente a expressão que o enunciado nos deu:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 17576
3x²y + 3xy² = 17576 - (x³ + y³)

Simplificando a parte esquerda e substituindo o valor de x³ + y³:

3xy (x + y) = 17576 - 5408 = 12168
3xy (26) = 12168
xy = 12168 / (3 . 26)
xy = 12168 / 78
xy = 156

Usando esse valor de xy lá na expressão de x² + y²:

x² + y² = 676 - 2xy
x² + y² = 676 - 2.156
x² + y² = 676 - 312
x² + y² = 364

Se alguém souber um jeito mais rápido, apresenta pra gente ai!

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muito obrigada :smiling_face_with_three_hearts:

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