Prova do Laplaciano em Coordenadas Polares
A transformação de coordenadas cartesianas (retangulares) para coordenadas polares é dada pelo conjunto de equações (1).
(1)
O Laplaciano em coordenadas cartesianas é dado por (2).
(2)
Devemos usar a regra da cadeia, para transformar a função u(x, y) em u
. A derivada parcial 
pode ser escrita conforme (3).
(3)
Aplicando a regra do produto e da cadeia novamente em (3), obtemos a expressão (4).
(4)
Que é análoga para uyy. Somando estas duas, obtemos a expressão (5).
(5)
Nesta expressão, as derivadas de r e em relação a x ou y são calculadas com uso das expressões (1).
Calculando-se as derivadas e aplicando-as em (5), obtemos:
