TUDO QUE VOCÊ PRECISAVA SABER SOBRE LIMITES - UM RESUMO
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1. Definição de limites
Imagine o seguinte exemplo: uma formiga está tentando chegar no ponto em x = 3 andando pela curva definida pela função f(x)=x², então, quando chegar, y será 9!
De modo geral, se f(x) é uma função qualquer, então
A equação acima pode ser lida como “o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L.” Isso significa que se nós escolhermos valores de x próximos, mas não iguais a a, então f(x) será próximo de L. Além disso, f(x) se aproxima cada vez mais de L, enquanto x se aproxima de a.
A seguinte notação alternativa pode ser usada:
2. Substituição de números para encontrar o limite
Esse seria o primeiro passo para determinar um limite. Nesse caso, basta substituir o valor do limite diretamente na fórmula.
Dado o limite:
Para resolvê-lo, basta substituir o valor de 1 em x. Logo:
3. Limites indeterminados
As indeterminações podem surgir quando não temos como calcular um limite de maneira racional. Por exemplo:
0/0 é um problema! Nós realmente não sabemos o valor de 0/0 (é "indeterminado"), então precisamos de outra maneira para encontrá-lo. Então, em vez de tentar trabalhar para x = 1 vamos tentar aproximar cada vez mais os valores:
É possível notar que quando x se aproxima de 1, então (x²-1) (x-1) se aproxima de 2. Estamos, agora, diante de uma situação interessante:
- Quando x=1 não sabemos a resposta (a função é indeterminada);Mas podemos ver que o limite é dois, pois quanto mais próximo de 1 x está, mais próximo de 2 é o valor da função.
4. Limites tendendo ao infinito
Vamos começar com um exemplo interessante: pergunta-se qual o valor de 1/∞. Resposta: não sabemos! E por que não sabemos? A razão mais simples é que o infinito não é um número, e sim uma ideia. Talvez pudéssemos dizer que 1/∞ = 0, ... mas isso também seria um problema, porque se dividirmos 1 em pedaços infinitos, eles terminam em 0 cada e se somarmos novamente, o resultado será 0 e não 1. O que aconteceu com o 1?
Em vez de dizer que x se aproxima de algum número finito, pode-se dizer que x se tornar cada vez maior e perguntar o que acontece com f(x). Se houver um número L tal que f(x) chega arbitrariamente perto de L, se alguém escolher um x suficientemente grande, então escrevemos:
Lê-se: o limite da função f(x) para x tendendo ao infinito é L.
Exemplo:
Em vez de tentar achar o valor no infinito (porque não podemos obter uma resposta sensata), vamos tentar valores cada vez maiores de x:
Agora podemos ver que quando x fica maior, 1/x tende para 0. Estamos diante de uma situação interessante: não podemos dizer o que acontece quando x chega ao infinito, mas podemos ver que 1/x se aproxima de 0.
O gráfico comporta-se da seguinte maneira:
Se colocarmos o x tendendo a zero, vemos que o limite é indeterminado. E, de acordo com as observações no gráfico, ele está tendendo ao infinito.
5. Limites laterais
Sobre uma função f(x) com uma "quebra", assim:
O limite não existe em "a". Não podemos dizer qual é o valor em "a" porque há duas respostas concorrentes:
3,8, quando nos aproximamos do ponto pela esquerda e
1,3 quando nos aproximamos do ponto pela direita.
Nesses casos, podemos usar os sinais especiais "-" ou "+" (conforme gráfico acima) para definir limites unilaterais:
O limite à esquerda (-) é 3,8
O limite à direita (+) é de 1,3
E o limite ordinário (bilateral) "não existe"
6. Propriedades de Limites
Limite de uma constante
Se a e c são constantes, então:
Limite da soma, produto e quociente
Seja F1 e F2 duas funções dadas no qual os limites de x→a são conhecidos,
Então,
E, por fim, se, então
7. Quando limites não existem
Isso pode realmente acontecer e, nessa seção, veremos alguns exemplos de limites que não existem. Primeiro, vamos concordar sobre o que chamaremos de limite não existente.Definição: Se não há nenhum valor para L no limite:Então, nós dizemos que o limite não existe.Exemplo: Função sinal próximo a zero, x=0. A função sinal é definida como Nota-se que o sinal de zero é definido em zero. Entretanto, a função não tem limite em x=0. Suponha um número L qualquer, então:
Portanto, uma vez que pegarmos um pequeno número positivo de x, L=+1, mas se pegarmos um pequeno número negativo de x, L= -1. O problema está que L não pode ser +1 e -1 ao mesmo tempo.
8. Teorema do Confronto
Suponha que: e Então: 9. Limites trigonométricosHá dois limites fundamentais: o limite do seno e o limite do cosseno. 10. Exemplos de limiteSubstituição: a primeira tentativa é apenas colocar o valor do limite e verificar se funciona (em outras palavras, substituição).Fatorização: é possível tentar a decomposição dos elementos. Conjugados: Quando for uma fração, multiplicar a parte superior e inferior por um conjugado também pode ajudar. 11. Regra de L´Hópital É uma regra para limites tendendo ao infinito a fim de sair da indeterminação. Para ter um bom entendimento, observe o exemplo a seguir: Há uma indeterminação no limite acima. Então, separamos a função em duas novas funções, sendo: Logo, para calcular o limite, tira-se a derivada de f(x) e g(x), ficando: