INTEGRAL INDEFINIDA

A arte de encontrar antiderivadas é chamada de integração. Desse modo, ao aplicar a integral dos dois lados da equação, encontramos a tal da antiderivada:

NOTA MENTAL: Não esquecer a constante para integrais indefinidas!

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO “U”

O método de substituição é utilizado para simplificar a integração, gerando uma integral que sabemos como resolver.Considerando u = g(x) e colocando du/dx = g’(x) na forma diferencial du = g’(x) dx:

Exemplo:

INTEGRAL DEFINIDA

A integral definida possui limites de integração [a,b]. Assim, o resultado será um número e não uma equação, ou seja, não precisamos mais da constante de integração. A integral definida utiliza conceitos de área, comprimento e volume.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

Basicamente, as propriedades são as mesmas das integrais indefinidas. Mas há propriedades extras devido aos limites de integração, conforme a tabela:

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – Parte 1

Como calcular uma integral definida: calculando a antiderivada do limite de cima, subtraindo esta do limite de baixo!

ou

Exemplo:

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – Parte 2

Quando uma integral definida tiver um limite de integração superior variável (x, por exemplo):

Exemplo:

CALCULANDO INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO

Deve-se levar em conta os efeitos da substituição nos limites de cima e de baixo. Dessa forma, há dois métodos para fazer isso:

Método 1: Determinar primeiro a integral indefinida por substituição, e a partir disso, calcular a integral definida.

Método 2: Usar u = g(x) para substituir os valores dos limites de integração.

ÁREA ENTRE DUAS CURVAS

ÁREA INTEGRANDO EM “X”

NOTA MENTAL: relembrando as propriedades da integral definida (subtração de integrais), aqui nada mais é do que a integral de uma função menos a outra!

ÁREA INTEGRANDO EM “Y”

VOLUME POR DISCOS E ARRUELAS EM “X” E “Y”

O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função f em torno do eixo x é:

O mesmo pode ser feito quando uma função f é girada em torno do eixo y.

NOTA MENTAL: às vezes é preciso calcular o volume de um sólido a partir da diferença do volume de outros dois. Para isso, basta seguir o mesmo esquema da área entre duas curvas.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

O objetivo da integração por partes é escolher um u e dv para obter uma nova integral, mais fácil de resolver que a original.

NOTA MENTAL: Pode-se escolher u da seguinte lista: Potência, Inversa trigonométrica, Trigonométrica, Exponencial, Logarítmica (PITEL)!!

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

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Se m e n forem números inteiros e positivos, a integral acima pode ser calculada através relações trigonométricas!

Exemplo:

A partir daqui, nós utilizamos o método de substituição u.du, sendo u=2x e du=2dx:

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SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O método de substituições trigonométricas pode ser realizado em três passos: escolher a substituição correta, resolver a integral e retornar a variável inicial.

Exemplo:

Então, deve-se expressar a cotangente em função de x!

Substituindo na integral já resolvida, temos que:

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS

É um método utilizada para separar uma divisão de polinômios em termos fáceis de integrar!

Exemplo:

Resumo de Integrais!

Cronograma