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RESUMO DE INTEGRAIS
INTEGRAL INDEFINIDA
A arte de encontrar antiderivadas é chamada de integração. Desse modo, ao aplicar a integral dos dois lados da equação, encontramos a tal da antiderivada:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO “U”
O método de substituição é utilizado para simplificar a integração, gerando uma integral que sabemos como resolver.Considerando u = g(x) e colocando du/dx = g’(x) na forma diferencial du = g’(x) dx:
Exemplo:
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida possui limites de integração [a,b]. Assim, o resultado será um número e não uma equação, ou seja, não precisamos mais da constante de integração. A integral definida utiliza conceitos de área, comprimento e volume.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
Basicamente, as propriedades são as mesmas das integrais indefinidas. Mas há propriedades extras devido aos limites de integração, conforme a tabela:
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – Parte 1
Como calcular uma integral definida: calculando a antiderivada do limite de cima, subtraindo esta do limite de baixo!
ou 
Exemplo:
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – Parte 2
Quando uma integral definida tiver um limite de integração superior variável (x, por exemplo):
Exemplo:
CALCULANDO INTEGRAIS DEFINIDAS POR SUBSTITUIÇÃO
Deve-se levar em conta os efeitos da substituição nos limites de cima e de baixo. Dessa forma, há dois métodos para fazer isso:
Método 1: Determinar primeiro a integral indefinida por substituição, e a partir disso, calcular a integral definida.
Método 2: Usar u = g(x) para substituir os valores dos limites de integração.
ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
ÁREA INTEGRANDO EM “X”
| NOTA MENTAL: relembrando as propriedades da integral definida (subtração de integrais), aqui nada mais é do que a integral de uma função menos a outra! |
ÁREA INTEGRANDO EM “Y”
VOLUME POR DISCOS E ARRUELAS EM “X” E “Y”
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função f em torno do eixo x é:
O mesmo pode ser feito quando uma função f é girada em torno do eixo y.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
O objetivo da integração por partes é escolher um u e dv para obter uma nova integral, mais fácil de resolver que a original.
| NOTA MENTAL: Pode-se escolher u da seguinte lista: Potência, Inversa trigonométrica, Trigonométrica, Exponencial, Logarítmica (PITEL)!! |
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
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Se m e n forem números inteiros e positivos, a integral acima pode ser calculada através relações trigonométricas!
Exemplo:
A partir daqui, nós utilizamos o método de substituição u.du, sendo u=2x e du=2dx:
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SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
O método de substituições trigonométricas pode ser realizado em três passos: escolher a substituição correta, resolver a integral e retornar a variável inicial.
Exemplo:
Então, deve-se expressar a cotangente em função de x!
Substituindo na integral já resolvida, temos que:
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
É um método utilizada para separar uma divisão de polinômios em termos fáceis de integrar!
Exemplo:
