- Como a parábola intercepta o eixo x nos pontos (p,0) e (q,0) , x = p e x= q são raízes da parábola. Desse modo, p + q é a soma das raízes da parábola. Uma das Relações de Girard nos diz que:

$%5Ctext%7BSeja%20a%20par%C3%A1bola%7D%5C%20y=a_2x%5E2+a_1x+a_0,%5C%20%5Ctext%7Be%20%7D%20%5C%20r_1,%20%5C%20r_2%20%5Ctext%7B%20as%20ra%C3%ADzes%20da%20par%C3%A1bola%7D.%5C%5C%0A%5C%20%5C%5C%0A%5Ctext%7BEnt%C3%A3o,%7D%5C%20%5C%20r_1+r_2=%5Cdfrac%7B-a_1%7D%7Ba_2%7D$

Aplicando nessa questão temos:

$p+q=%5Cdfrac%7B-b%7D%7B-1%7D%5Cimplies%20p+q=b%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(i)$

- Podemos encontrar o ponto de intercepção da parábola com as retas igualando suas equações:

$%5Cbullet$ Intercessão de $y=-x+bx+c$ com $%F0%9D%91%A6%20=%202%F0%9D%91%A5%20+%201$
$-x%5E2+bx+c=2x+1%5Cimplies%20-x%5E2+(b-2)x+(c-1)=0$
Chegamos em uma equação do segundo grau que deve ter somente uma solução, já que a parábola intercepta a reta em apenas um ponto. Sendo assim, na formula de Bhaskara, $%5CDelta=0$ . Então calculamos:
$%5CDelta=B%5E2-4%5Ccdot%20A%5Ccdot%20C%5Cimplies0=(b-2)%5E2-4%5Ccdot(-1)%5Ccdot(c-1)%5C%5C%0A%5C%20%5C%5C%5Cimplies(b-2)%5E2=4(c-1)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(ii)$
$%5Cbullet$ Intercessão de $y=-x+bx+c$ com $%20%F0%9D%91%A6%20=%201%20%E2%88%92%20%5Cdfrac%20%F0%9D%91%A52$
$-x%5E2+bx+c=1-%5Cdfrac%7B-x%7D%7B2%7D%5Cimplies-x%5E2+%5Cbigg(b+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)x+(c-1)=0$
Novamente queremos $%5CDelta=0$
$0=%5Cbigg(b+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)%5E2-4%5Ccdot(-1)%5Ccdot(c-1)%5Cimplies%5Cbigg(b+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)%5E2=-4%5Ccdot(c-1)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20(iii)$

- Note que as expressões que encontramos em (ii) e (iii) estão igualada ao mesmo termo, então podemos iguala-la:

$(b-2)%5E2=%5Cbigg(b+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cbigg)%5E2%5Cimplies%20b%5E2-4b+4=b%5E2+b+%5Cfrac14%5C%5C%0A%20%5C%20%5C%5C%0A4-%5Cfrac14=b+4b%5Cimplies%205b=%5Cdfrac%7B15%7D%7B4%7D%5Cimplies%20b=%5Cdfrac%7B%5Cdfrac%7B15%7D%7B4%7D%7D%7B5%7D%5Cimplies%20b=%5Cfrac34$

Finalizamos levando $b=%5Cfrac34$ em (i):

$p+q=b%5Cimplies%20p+b=%5Cfrac34$

Questão 62

Questão 22 de Matemática da prova UNICAMP/2022

Cronograma