A reta 2x – y + 1 = 0 é o que da circunferência x² + y² – 2x = 0?


#1

Secante, tangente ou externa?
O gabarito diz que é externa, mas tenho quase certeza que é tangente.

O raio = raiz de 2.
Se substituirmos x=0 na equação da reta, y será =1, portanto ponto (0,1).
As coordenadas do centro da circunferência são (1,0)
Ou seja, por pitágoras, a distância entre a reta e a circunferência é raiz de 2, que é igual ao raio. Portanto, a reta deveria ser tangente.

Alguém poderia corrigir o que há de errado? Se é o gabarito ou se aprendi faltando algum detalhe?


#2

Oi, Bruno, tudo bem? :slight_smile:

Para sabermos se uma reta é a tagente, secante ou externa a uma circunferência, devemos substituir o y da reta no y da circunferência. Sendo assim, chegaremos em uma equação do segundo grau.

Essa equação do segundo grau poderá ter delta=0 (uma raiz real, logo é tangente), delta maior 0 (duas raízes reais, ou seja, é secante) ou delta menor que zero (nenhuma raiz real, logo é externa)

Lembrando as relações do delta

Fazendo esse sistema de equações com as equações dadas, ficamos assim:

Reta:
2x - y + 1 = 0
y= 2x + 1

Circunferência:
x² + - 2x = 0

substituindo:

x² + (2x + 1)² -2x= 0
x² + 4x² + 4x + 1 - 2x= 0
5x² + 2x + 1 = 0

achando o delta
delta = b² - 4.ac
delta = (2)² - 4.5.1
delta = 4 - 20
delta = - 16

fiz o gráfico para confirmar e a reta realmente é externa à circunferência:

image

Fazendo da forma como você fez, aplicando pitágoras nesse triângulo:

image

c² = b² + a²
c² = 1 + 1
c= √2

Note que você fez o cálculo corretamente, porém o raio da circunferência é √1 que é 1
A circunferência fica nessa forma: (x - 1)² + y² = 1
ou seja, o raio é 1 mesmo. Como √2 é maior que 1, o ponto será externo.

Nesse caso, você escolheu um ponto e calhou dele ser externo assim como a reta em relação a circunferência. Porém, em outros casos, você poderá escolher um ponto, ele ser externo e a reta ser tangente ou secante. É que não sei se entendi certinho sua análise, mas eu acho que ela pode dar errado em alguns momentos. O certo, ao meu ver, seria você utilizar a fórmula da distância do ponto a reta e, assim, fazer essa análise da distância e do tamanho do raio, pois nem sempre um ponto que você escolher será a menor distância.

Perceba que esses ponto que escolhi são externos, porém as retas encontram a circunferência:

No mais, peço desculpas pela resolução mal feita e confusa, eu estou de férias, nisso eu fico um pouco lenta. Não estou abrindo o fórum, porém qualquer dúvida eu tento responder assim que der :slight_smile:


#3

Verdade. Agora que percebi que coloquei 2 ali e achei que o raio seria a raiz de dois,que seria exatamente igual à distância de onde está passando a reta.

Pequenos detalhes! Obrigado Camila! Feliz ano novo!!!


#4

imagina! precisando é só chamar!

só uma observação: eu recomendaria você fazer da forma como fez apenas quando tiver certeza que o segmento que você está calculando faz um ângulo reto com a reta, porque se não vai cair ali no que eu falei. Só estou falando isso porque tenho medo que em um prova você faça assim e acabe errando. Eu me sentiria mal hahaha

E Feliz Ano Novo!!!


#5

Se não fosse isso, o que poderia acontecer?


#6

você acharia uma distância qualquer do centro da circunferência até a reta e poderia cair no caso que fiz ali: dar uma distância maior que o raio sendo que a reta é tangente ou secante.
Você precisa calcular a menor distância do centro da circunferência até a reta que será será um segmento que faz um ângulo reto com a reta em questão :slight_smile: