Probabilidade Acumulada


#1

Essa é uma questão objetiva que caiu na minha prova de Estatística.

Sendo Z o z-score usado no cálculo da distribuição normal padronizada, sabe-se que P(Z ≤ 0,7) = 0,758. Considere uma variável aleatória X com distribuição normal, com média igual a 500 e desvio-padrão igual a 50.
Calcule a que valor de X corresponde a probabilidade acumulada p=0,242.

A) 535.
B) -0,7.
C) 465.
D) Impossível de se calcular o valor de X com os dados fornecidos.
E) 0,3.

O gabarito que deram foi:

O problema é que, se usarmos uma tabela de distribuição normal padronizada, provavelmente teremos valores acumulados a partir da média, ou seja, superiores a 0,5. Sendo assim, o ponto procurado é, certamente, inferior à média da distribuição.

Como P(Z ≤ 0,7) + P(Z ≥ 0,7) = 1, então P( Z ≥ 0,7) = 1 - P(Z ≤ 0,7)

Se P(Z ≤ 0,7) = 0,758, então P(Z ≥ 0,7) = 1 - 0,758 = 0,242.

Além disso, como a distribuição normal é simétrica, P(Z ≥ 0,7) = P(Z ≤ -0,7).

Ou seja, a probabilidade p=0,242 corresponde a P(Z ≥ 0,7) e também a P(Z ≤ -0,7).

Logo, precisamos calcular o valor x correspondente a z = -0,7.

z = x - ¯x (média) / σ -> x - 500/50 = -0,7.

Resolvendo para encontrar x, temos que:

x = (-0,7 * 50) + 500 = 465.

Alguém pode me explicar por que foi usado -,07 e não 0,7?


#2

Boa noite Giulia, tudo bem?

Foi utilizado -0,7 porque o cálculo pede basicamente para calcular qual o valor em que a probabilidade acumulada na curva normal seja igual a 0,242, e este valor está certamente abaixo da média - na média, o valor da probabilidade acumulada seria igual a 0,5.

A tática usada para este cálculo foi se aproveitar da simetria da curva normal - isto é, de +0,7 desvios até +infinito, temos a mesma área e desenho (com “sentido” oposto) do que do -infinito até -0,7 desvios.

Foi? Caso não, avisa que tento pensar de outra forma!
Abraço!


#3

Boa noite, Professor Paulo.
Obrigada pela resposta!

Entendi a questão da simetria, mas a parte da relação com a média não foi… :confused:


#4

Opa!

Metade da distribuição está abaixo da média e metade está acima dela. Neste caso, na média, a distribuição acumulada é igual a 0,5 - afinal, 0,5 da curva está antes da média.

Caso a gente pegue um ponto abaixo da média, uma parte ainda menor da curva estará abaixo da mesma. Neste exemplo, para termos 0,242 da curva abaixo do ponto, temos que pegar um ponto 0,7 desvios abaixo da média.


#5

Então a referência é estar acima ou abaixo de 0,5? E aí usa-se -0,7 por se encontrar abaixo da média?

Desculpe, é que realmente não entendo exatas. :grimacing:


#6

Sem stress, estamos ai pra isto.

A referência é a média. Na média, estamos com 0 desvios padrões, abaixo da média temos desvios negativos e acima da média temos desvios positivos.


#7

Acho que foi! :thinking:

Muito obrigada pela ajuda!!


#8

ACHO não é uma resposta satisfatória para mim!

Vamos fazer um combinado? Tenta fazer outro exercício desde estilo e, caso tu não consiga fazer e/ou tenha dúvidas ou insegurança, volte a entrar em contato, pode ser?


#9

Olá!

Procurei mais dois exercícios com a mesma proposta e consegui resolvê-los. Muito obrigada!