Variável aleatória discreta, não entendi a resolução de um exercício


#1

Alguém poderia me ajudar?

Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem
reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

Eu tenho as respostas e vi que foi usado combinações para respondê-la mas eu não entendi porque simplesmente não foi feito 1 = 5/8; 2 = 4/7 * 5/8; 3 = 5/8 * 4/7 * 3/6

As respostas corretas são 0 = 1/56; 1 = 15/56; 2 = 30/56; 3 = 10/56


#2

E ai Willian, tudo certinho?

Então, neste caso, sempre que tu sorteia uma bola, ela pode ser vermelha ou pode ser preta. Nós queremos calcular a probabilidade de termos X bolas pretas em cada sorteio, logo, vamos utilizar um pouco de lógica ao invés de socarmos de fórmulas.

Em que situação teremos nenhuma bola preta sorteada? Quanto tivermos apenas bolas vermelhas. Como temos apenas 3 bolas vermelhas, só tem 1 chance disto ocorrer.

E uma bola preta? Sortearemos 2 bolas vermelhas e 1 preta.

A partir daqui, dividiremos o problema em 2: bolas vermelhas e pretas. Considerando que as bolas sejam numeradas (para serem diferentes), quantas possibilidades temos de bolas vermelhas? 1 e 2, 1 e 3 & 2 e 3. 3 possibilidades nas vermelhas. E nas pretas? 1,2,3,4 & 5. 5 possibilidades.

Neste caso com apenas uma bola preta, temos 3*5 = 15 possibilidades de sorteio com apenas uma bola preta.

E duas bolas pretas? Usando o mesmo racionínio que o caso anterior, teremos 3 possibilidades com as bolas vermelhas (1, 2 & 3) e, para as bolas pretas, teremos 10 possibilidades (pode escrever, pode utilizar a fórmula da combinação sorteando 2 em 5 - 54/2 - a fórmula é irrelevante. Logo, neste caso, 310=30 possibilidadades.

E três bolas pretas? Neste caso, não podemos sortear bolas vermelhas, bastante tratar do caso da combinação de bolas pretas. Podemos calcular, podemos escrever, whathever, teremos 10 possibilidades de combinações com 3 bolas pretas entre 5 bolas pretas possíveis.

Logo
0 Pretas - 1 chance
1 Preta - 15 chances
2 Pretas - 30 chances
3 Pretas - 10 chances.

A probabilidade de cada uma é basicamente ver quantas chances tem aquela configuração e dividir pelo número total de possibiliades (1+15+30+10 = 56)

Logo
0 = 1/56
1 = 15/56
2 = 30/56
3 = 10/56

Foi? Qualquer coisa, estamos ai!

Abraço!