Determine o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 8


#1

Determine o número de soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 8.

Daria pra fazer por aquele método IIIIIIII++ = 8
Permutando então os risquinhos e os “+”. Porém, assim, acharei soluções nulas. Como faço pra eliminá-las de minha solução?


#2

Oii Tarik, tudo bem?

Isso mesmo, podemos resolver com esse método, que por sinal, é o mesmo método que foi necessário para uma questão do ENEM do ano passado. :v: #ficaadica
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Fazendo isso você achará 45 soluções, certo? Dessas, terás soluções nulas se o zero for uma ou duas das variáveis…
Com uma das variáveis nula, você tem que a soma das outras duas deve ser 8. Assim se repete o problema dos palitinhos de novo: permutação de 9 elementos (8 palitinhos e um sinal de soma), com 8 elementos repetidos, o que nos dá exatamente 9 soluções.
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Assim, das 45 soluções, 9 tem pelo menos uma das variáveis nulas, sobrando 36 soluções inteiras e positivas.

Pelo número redondinho que encontramos (9 x 4) talvez tenha alguma outra maneira de resolver, mas achei essa plausível… hehehe

Abraço!


#3

Professora, o gabarito aqui é 21.


#4

Vou me meter aqui.

Que tal o seguinte: resolver através de permutações:

1, 2, 5 → P(3) = 3!..= 6

1, 3, 4 → P(3) = 3!..= 6

1, 1, 6 → Pr(3;2) = 3!/2! = 3

2, 2, 4 → Pr(3;2) = 3!/2! = 3

3, 3, 2 → Pr(3;2) = 3!/2! = 3

Somando, temos 21 soluções. :slight_smile:


#5

Pois é, eu já tinha visto essa resolução em outro fórum, mas estava querendo entender como resolvo por aquele outro método.


#6

Hummm

AAhh sim! Esqueci uma coisa: essas 9 foram com 1 das variáveis nulas! Tens que fazer com as outras 2 nulas também, sem esquecer que já haviam sido consideradas 1 das variáveis nulas. Assim o número de soluções com pelo menos uma variável nula é:
9 + 8 + 7 = 24

Sobrando 21 soluções sem variáveis nulas!
Agora foi!
Abraço!


#7

oi! dá pra fazer rápido assim:
x= K+1; y=J+1; z=L+1, onde K, J e L são naturais
daí (K+1) + (J+1) + (L+1) = 8, então K+L+J = 5
Com essa última equação podemos fazer a coisinha dos risquinhos, porque K,L ou J podem ser 0, que x,y, e z valeriam pelo menos 1!
Daí K+L+J = 5 >>>>> IIIII++ >> 7!/(5!2!) então teremos 21.
Sei que o caso é antigo mas quem visita aqui pode aproveitar essa resposta.


#8

é sempre bom mais resoluções!